Mata kuliah : Aljabar linier
Kode : MAT 370205
Bobot SKS : 3
Jurusan : Pendidikan Matematika
Program studi :
Pendidikan Matematika
Semester : II
Mata Kuliah Prasyarat :
Aljabar Matriks
Uraian Materi :
1.
Bentuk normal persamaan bidang.
2.
Bentuk umum persamaan bidang.
3.
Persamaan parametrik.
4.
Persamaan simetrik.
Kelompok 5 :
Hikmah Prihatini 1112017000034
Mia Istiqomah
1112017000037
Abdul Aziz 1112017000047
Amidatum Milati 1112017000056
Nurmala 1112017000058
Rendy Mutiara P. 1112017000063
DAFTAR KEHADIRAN
|
Nama
Anggota
|
Tanggal
Kehadiran
|
||||||
|
12/04/2013
|
16/04/2013
|
19/04/2013
|
26/04/2013
|
17/05/2013
|
21/05/2013
|
31/05/2013
|
|
|
Hikmah Prihatini
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
|
Mia Istiqomah
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
|
Abdul Aziz
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
|
Amidatum Milati
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
|
Nurmala
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
|
Rendy Mutiara P
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
ü
|
GARIS
DAN BIDANG di R3
1.
BENTUK NORMAL
PERSAMAAN BIDANG
Dalam
bidang geometri analitik, sebuah garis dapat ditentukan dengan memberikan
kemiringannya dan salah satu titiknya. Demikian juga, sebuah bidang di ruang-3
dapat ditentukan dengan memberikan inklinasinya dan dengan menetapkan salah
satu titiknya. Metode yang memudahkan untuk menjelaskan inklinasi tersebut
adalah dengan menetapkan sebuah vektor (yang dinamakan normal) yang tegak lurus
ke bidang tersebut.
z
|
P (x,y,z)
P0(x₀,y₀,z₀)
AZ
|
y
x
Gambar
1.1
Misalkan kita ingin persamaan bidang
yang lewat melalui titik P0(x0,y0,z0)
dan mempunyai vektor tak nol n = (a,b,c) sebagai normal. Jelaslah dari gambar
1.1 bahwa bidang tersebut terdiri dari persis titik-titik P(x,y,z) untuk vetor
P0P ortogonal ke n; yakni, untuk mana
(1.1)
|
0
|
(1.2)
Kita
akan menamakan ini bentuk normal titik dari persamaan bidang.
Contoh 1
Carilah persamaan
bidang yang melewati titik (5, 8, -3) dan tegaklurus ke vektor
n =
(4, -7, 5).
Pemecahan.
Dari (1.2) maka bentuk
normal titik adalah 4(
5)
7(
8) + 5(
+
3) = 0
Contoh
2
Carilah
persamaan bidang yang tegak lurus pada vektor n = (6, 4, –9) dan melewati titik
(3,
-2, 1)
Pemecahan.
Bentuk normal titik adalah 6(
– 3 ) +
4(
+
2) –
9(
–
1) = 0
Latihan
1
1. Pada
masing-masing bagian, carilah bentuk sebuah titik normal dari persamaan bidang
yang lewat melalui P dan mempunyai n sebagai normal.
(a) P(2, 6, 1); n =
(1, 4, 2)
(b) P(-1, -1, 2); n = (-1, 7, 6)
(c) P(1, 0, 0); n = (0, 0, 1)
(d) P(0, 0, 0); n = (2, 3, 4)
Penyelesaian:
(a) P(2, 6, 1); n = (1, 4, 2)
a(x
– x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
1(x
– 2) + 4(y – 6) + 2(z – 1) = 0
(b) P(-1, -1, 2); n = (-1, 7, 6)
a(x
– x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
-1(x
+ 1) + 7(y + 1) + 6(z – 2) = 0
(c) P(1, 0, 0); n
= (0, 0, 1)
a(x
– x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
0(x
– 1) + 0(y – 0) + 1(z – 0) = 0
(d) P(0, 0, 0); n
= (2, 3, 4)
a(x
– x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
2(x
– 0) + 3(y – 0) + 4(z – 0) = 0
2. Carilah
bentuk titik normal:
(a) 2x
– 3y + 7z – 10 = 0
(b) x
+ 3z = 0
Penyelesaian:
(a) 2x
– 3y + 7z – 10 = 0
n =
(2, -3, 7)
(b) x
+ 3z = 0
n =
(1, 0, 3)
2.
BENTUK UMUM
PERSAMAAN BIDANG
Dengan
mengalikan dan mengumpulkan suku-sukunya, maka (1.2) dapat dituliskan kembali
dalam bentuk
(1.3)
Di
mana a,b,c dan d dalam konstanta, dan a,b, serta c tidak semuanya nol. Untuk
melukisnya, maka persamaan pada Contoh 1 dan Contoh 2 dapat dituliskan kembali
sebagai
Contoh
1 4
–
7
+
5
+
51 = 0
Contoh
2 6
+
4
– 9
–
1 = 0
Seperti yang
diperlihatkan oleh teorema kita berikutnya, setiap persamaan yang berbentuk
(1.3) menyatakan bidang diruang-3.
|
Teorema
7. Jika 𝒂, 𝒃,
𝒄
dan 𝒅
adalah konstanta dan 𝒂,
𝒃
serta 𝒄
tidak semuanya nol, maka grafik persamaan
Adalah sebuah
bidang yang mempunyai vektor n = (𝒂, 𝒃,
𝒄)
sebagai normal.
|
Bukti. Menurut hipotesis, maka
koefesien
tidak semuanya nol.
Untuk sementara, anggaplah bahwa
≠ 0. Maka persamaannya
dapat dituliskan kembali sebagai
(
+ (
) +
=
0. Tetapi ini adalah bentuk normal titik dari bidang yang melewati titik (
̶
)
dan mempunyai n = (
sebagai normal.
Jika
=
0, maka
. Modifikasi langsung dari argumen diatas
akan menangani kasus lain ini.
Persamaan (1.3) adalah
persamaan linear di
persamaan tersebut dinamakan bentuk
umum persamaan bidang.
Latihan
2
1. Tulislah
persamaan bidang pada Latihan 1 dalam bentuk umum.
Penyelesaian:
(a) P(2, 6, 1); n = (1, 4, 2)
a(x
– x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
1(x
– 2) + 4(y – 6) + 2(z – 1) = 0
x
– 2 + 4y – 24 + 2z – 2 = 0
x
+ 4y + 2z – 28 = 0
(b) P(-1, -1, 2); n = (-1, 7, 6)
a(x
– x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
-1(x
+ 1) + 7(y + 1) + 6(z – 2) = 0
-x
– 1 + 7y + 7 + 6z – 12 = 0
-x
+ 7y + 6z – 6 = 0
(c) P(1, 0, 0); n
= (0, 0, 1)
a(x
– x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
0(x
– 1) + 0 (y – 0) + 1 (z – 0) = 0
0
+ 0 + 1(z – 0) = 0
z
= 0
(d) P(0, 0, 0); n
= (2, 3, 4)
a(x
– x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
2(x
– 0) + 3(y – 0) + 4(z – 0) = 0
2x
+ 3y + 4z = 0
2. Dalam
masing-masing bagian, carilah persamaan untuk bidang yang lewat melalui titik
yang diberikan.
(a) (-2,
1, 1) (0, 2, 3) (1, 0, -1)
(b) (3,
2, 1) (2, 1, -1) (-1, 3, 2)
Penyelesaian:
(a) (-2,
1, 1) (0, 2, 3) (1, 0, -1)
-2a
+ b + c + d = 0
2b +
3c + d = 0
a
– c + d = 0
a
= 0 parameter: d =
t misal: t = -1
b + 2d = 0 maka; a = 0 b + 2t = 0 c
– t = 0 d = t
c – d = 0 b = -2t c = t d = -1
b
= 2 c = -1
jadi, persamaan
bidangnya adalah -2y – z – 1 = 0
(b) (3,
2, 1) (2, 1, -1) (-1, 3, 2)
3a
+ 2b + c + d = 0
2a
+ b – c + d = 0
‒a
+ 3b + 2c +d = 0
a
= -1/16 d parameter: d = t misal: t = -16
b
= -9/16 d maka; a =
-1/16 t b = -9/16 t c = 5/16 t d = -16
c
= 5/16 d a = 1 b = 9 c = -5
jadi,
persamaan bidangnya adalah x + 9y – 5z – 16 = 0
3. Carilah
persamaan dalam masing-masing bagian berikut untuk dua bidang yang dipotong
oleh garis yang diberikan.
(a)
x = 3 + 4t (b) x = 5t
y = -7 + 2t -∞ < t < +∞ y = 3t -∞
< t < +∞
z = 6 – t z = 6t
Penyelesaian:
(a) x
= 3 + 4t
y
= -7 + 2t -∞ < t < +∞
z
= 6 – t
·
2x
– 6 = 4y + 28
2x
– 4y – 34 = 0 ( : 2 )
x
– 2y – 17 = 0
·
-y
– 7 = 2z – 12
-y
– 2z + 5 = 0 ( : -1 )
y
+ 2z – 5 = 0
jadi,
persamaannya adalah x – 2y – 17 = 0 dan y + 2z – 5 = 0
(b) x
= 5t
y
= 3t -∞ < t < +∞
z
= 6t
·
3x = 5y
3x – 5y = 0
·
6y = 3z
6y – 3z = 0 ( : 3 )
2y
– z = 0
Jadi,
persamaannya adalah 3x – 5y = 0 dan 2y – z = 0
4. Carilah
persamaan bidang yang melalui (-1, 4, -3) dan tegaklurus dengan garis x – 2 =
t, y + 3 = 2t, z = -t.
Penyelesaian:
Titik = ( -1, 4, -3 )
Garis (n) = ( 1, 2, -1 )
Persamaan bidangnya:
a( x – x0 ) + b( y – y0)
+ c( z – z0 ) = 0
1( x + 1 ) + 2( y – 4) + (-1) ( z +
3 ) = 0
x + 1 + 2y – 8 – z – 3 = 0
x + 2y – z – 10 = 0
x + 2y – z = 10
5. Carilah persamaan bidang yang lewat melalui
titik asal dan sejajar dengan bidang 4x –2y
+ 7z + 12 = 0
Penyelesaian:
Titik = ( 0, 0, 0 )
Bidang = ( 4, -2, 7 )
Persamaan bidangnya:
a( x – x0 ) + b( y – y0)
+ c( z – z0 ) = 0
4( x – 0 ) + (-2) ( y – 0) + 7( z –
0 ) = 0
4x – 2y + z = 0
6. Carilah
persamaan bidang yang dilewatkan melalui titik (2, -7, 6) dan sejajar terhadap
bidang 5x – 2y + z – 9 = 0
Penyelesaian:
Titik = ( 2, -7, 6 )
Bidang = ( 5, -2, 1 )
Persamaan bidangnya:
a( x – x0 ) + b( y – y0)
+ c( z – z0 ) = 0
5( x – 2 ) + (-2) ( y + 7) + 1( z –
6 ) = 0
5x – 10 – 2y – 14 + z – 6 = 0
5x – 2y + z – 30 = 0
7. Carilah persamaan bidang yang mengandung
garis x = -2 + 3t, y = 4+2t, z = 3 – t dan tegaklurus terhadap bidang x – 2y +
z = 5
Penyelesaian:
P(-2,
4, 3); n = (1, -2, 1)
·
-2x
– 4 = y – 4
-2x
– y = 0
·
y
– 4 = -2z + 6
y
+ 2z – 10 = 0
y
+ 2z = 10
8. Carilah
persamaan bidang yang melalui ( ̶ 1,4,2)
dan mengandung garis perpotongan bidang 4x
̶ y + z ̶ 2 =
0 dan 2x + y ̶ 2z
̶ 3 = 0
Penyelesaian
1) Misal
x = (a,b,c) = P2
Misal
x = 1
4(1) ̶ y +
z ̶
2 = 0 ̶ y +
z =
̶ 2 ....... persamaan 1
2(1)
+ y ̶
2z ̶ 3 = 0 y
̶ 2z = 1 ...... persamaan 2
Eliminasi
persamaan 1 dan 2
̶ y + z =
̶ 2
y ̶ 2z =
1 +
̶
z = ̶ 1
z = 1
̶ y +1 =
̶ 2
y
= 3
maka
( a,b,c) = (1, 3,1)
2) Misal
y = (a,b,c) = P3
Misal
x = 0
4(0) ̶ y +
z ̶
2 = 0 ̶ y +z = 2 ....... persamaan 3
2(0)
+ y ̶
2z ̶ 3 = 0
y ̶ 2z = 3 ..... persamaan 4
Eliminasi
persamaan 3 dan 4
̶ y +z
= 2
y ̶ 2z =
3 +
̶ z =
5
z =
̶ 5
y ̶
2( ̶ 5) = 3
y = ̶ 7
maka
(a,b,c) = (0, ̶ 7 ,
̶ 5)
=
(1,3,1) ̶ ( ̶
1, 4, 2) = ( 2 , ̶ 1, ̶ 1)
=
(0, ̶ 7, ̶ 5)
̶ ( ̶ 1, 4, 2) = (1, ̶ 11, ̶ 7)
x
=(
2 , ̶
1, ̶ 1) x (1, ̶ 11, ̶ 7)
4, 13, ̶ 21)
= ̶ 4 (x + 1) + 13 (y ̶ 4) +
( ̶ 21) (z ̶ 2)
=
( ̶ 4x ̶
4)+(13 y ̶ 52) + ( ̶
21 z + 42)
= ̶ 4x + 13y
̶ 21z ̶ 14 = 0
9. Cari
sebuah persamaan untuk bidang yang melalui (2, -1, 4) yang tegak lurus garis
potong bidang 4x – 2y + 2z + 1 = 0 dan 3x - 6y + 3z = 7
Penyelesaian :
Bidang-bidang 4x – 2y + 2z + 1 = 0 dan 3x - 6y + 3z
= 7 ditulis ke dalam bentuk :
4x – 2y = -2z – 1 ..........(1)
3x - 6y = -3z + 7 ..........(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2) menghasilkan x =
(-3z - 10)/9, y = (-6z + 31)/18.
Persamaan garis potong bidang 4x – 2y + 2z + 1 = 0
dan 3x - 6y + 3z = 7 adalah
x = -10/9 – t/3,
y = 31/18 – t/3,
z = t
(-
)
Bidang yang tegak lurus
garis potong diatas adalah bidang yang vektor normalnya, dimisalkan n(a, b, c),
sejajar dengan vektor, sejajar garis v, atau n = k v, dimana k adalah bilangan
real yang tidak nol, n = k v = k(-1/3, -1/3, 1). Ambillah k = -3, maka n = (1,
1, -3).
Persamaan bidang
menjadi x + y – 3z + d = 0. Karena melalui (2, -1, 4). Maka (1)(2) + (1)(-1) -
(3)(4) + d = 0, d = 11
Jadi persamaan bidang
yang dicari adalah x + y - 3z + 11 = 0.
10. Carilah
persamaan bidang melalui (-2, 1, 5) yang tegak lurus bidang 4x – 2y + 2z + 1 =
0 dan 3x + 3y – 6z = 5
Penyelesaian :
Bidang-bidang 4x – 2y + 2z + 1 = 0 dan 3x + 3y – 6z
= 5 memiliki normal n1(4, -2, 2) dan n2(3, 3, -6).
Bidang yang tegak lurus bidang 4x – 2y + 2z + 1 = 0
dan 3x + 3y – 6z = 5 adalah bidang yang vektor normalnya, dimisalkan n3(a, b, c), ortogonal dengan
vektor n1(4, -2, 2) dan n2(3, 3, -6).
n3.n1
= 0, atau 4a - 2b + 2c = 0 ..........(1)
n3.n2
= 0, atau 3a + 3b – 6c = 0 ..........(2)
Dari persamaan (1) dan (2) didapatkan, a = c/3, b =
5c/3.
Jadi n = (
,
, c )
Bila c dipilih sama dengan 3, maka n = (1, 5, 3) dan
persamaan bidangnya menjadi x + 5y + 3z +d = 0.
Karena bidang melalui titik (-2, 1, 5), maka :
(1)(-2) + (5)(1) + (3)(5) + d = 0, d = -18.
Persamaan bidang yang
dicari adalah x + 5y + 3z -18 = 0
11.
Tunjukkanlah bahwa garis :
x = 3 - 2t, dan x = 5 + 2t
y = 4 + t, (-
) y
= 1- t (-
)
z = 1 – t z
= 7 + t
Sejajar, dan carilah
sebuah persamaan untuk bidang yang dibentuk oleh garis-garis tersebut.
Penyelesaian :
Garis-garis diatas
masing-masing melalui titik P(3, 4, 1) dan Q(5, 1, 7) serta masing-masing
memiliki vektor v₁
= (-2, 1, -1) dan v₂
= (2, -1, 1).
Karena v₁(-2, 1, -1) = k v₂ (2, -1, 1), dimana k =
-1, maka kedua garis adalah sejajar.
Bidang yang dibentuk oleh
garis-garis
tersebut memiliki persamaan ax + by + cz + d = 0 dengan normal n(a, b, c),
dimana vektor ini tegak lurus terhadap vektor garis v₁ dan v₂.
n.v₁ = 0 atau (a, b, c) .
(-2, 1, -1) = -2a + b – c = 0
n.v₂ = 0 atau (a, b, c) .
(2, -1, 1) = 2a – b + c = 0 ..........(1)
Pilihlah titik R (-1,
6, -1) dan S(9, -1, 9) dimanan t = 2 masing-masing pada garis pertama dan
kedua. Bidang ax + by + cz + d = 0 melalui kedua titik ini sehingga,
a(-1) + b(6) + c(-1) +
d = 0 atau –a + 6b –c + d = 0
a(9) + b(-1) + c(9) + d
= 0 atau 9a – b + 9c + d = 0
kedua persamaan diatas
dieliminasi dan menghasilkan :
10a – 7b + 10c =
0..........(2)
Eliminasi persamaan (1)
dan (2) memberikan a =
, b =
Sehingga
n = (
,
, c). Jika dipilih c = 4, maka n = (3,
10, 4). Persamaan bidang menjadi 3x + 10y + 4z + d = 0. Karena bidang melalui
titik P(3, 4, 1) atau Q(5, 1, 7) maka :
3(3) + 10(4) + 4(1) + d
= 0 atau d = -53
Jadi persamaan bidang
yang dicari adalah 3x + 10y + 4z - 53 = 0
12. Tuliskan
persamaan bidang yang melalui titik-titik yang diberikan dibawah ini
a) P(
4,
1,
1), Q(
2,0,1), R(
1,
2,
3)
b) P(5,
4, 3) , Q(4, 3, 1), R(1, 5, 4)
c) P(3,
1, 2), Q(
2, 3,
3), R(2, 2, 6)
d) P(
1, 2, 4), Q(2, 0,
5), R(5,
2, 1)
Penyelesaian
:
a)
Eliminasi persamaan (1)
dan (2)
x1
x2
Eliminasi persamaan (2)
dan (3)
x1
x2
Eliminasi persamaan (4) dan (5)
x4
x1
+
Substitusi persamaan
(6) ke (4)
Substitusi
persamaan (6) dan (7) ke persamaan (3)
Maka
didapatkan :
|
|
Maka persamaan
bidangnya yaitu
b) P(5,
4, 3) , Q(4, 3, 1), R(1, 5, 4)
Eliminasi
persamaan (1) dan (2)
Eliminasi persamaan (2) dan (3)
Eliminasi persamaan (4) dan (5)
Substitusi persamaan
(6) ke (4)
Maka didapatkan :
|
|
Maka persamaan
bidangnya yaitu
c) P(3,
1, 2), Q(
2, 3,
3), R(2, 2, 6)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
Eliminasi
persamaan (2) dan (3)
Eliminasi
persamaan (4) dan (5)
Substitusi
persamaan (6) ke (5)
Substitusi persamaan
(6) dan(7) ke (1)
Maka didapatkan :
=
=
=
=
|
|
Maka
persamaan bidangnya yaitu
d) P(
1, 2, 4), Q(2, 0,
5), R(5,
2, 1)
Eliminasi persamaan (1)
dan (2)
Eliminasi persamaan (2)
dan (3)
Eliminasi persamaan (4)
dan (5)
Substitusi persamaan
(6) ke (5)
Substitusi persamaan
(6) dan (7) ke (1)
Maka didapatkan :
=
=
=
=
|
|
Maka persamaan
bidangnya yaitu
13. Tentukan
persamaan bidang yang melalui titik (3, -2, 4) dan memuat garis x = t, y = 2 +
3t, z = -1 – 2t, -∞ < t < +∞
Penyelesaian:
Titik = (3, -2, 4)
Garis (n) = (1, 3, -2)
a( x – x0 ) + b( y – y0)
+ c( z – z0 ) = 0
1( x – 3 ) + 3( y + 2) + (-2)( z –
4 ) = 0
x – 3 + 3y + 6 – 2z + 8 = 0
x + 3y – 2z + 11 = 0
14. Carilah
persamaan bidang yang melalui titik (2, -1, 3) dan tegak lurus pada garis
perpotongan antara bidang 2x + 3y – 2z + 10 = 0 dan x + 3y + 2z – 8 = 0
Penyelesaian:
n1 = (2, 3, -2)
n2 = (1, 3, 2)
titik = (2, -1, 3)
=
i
-
= 12i - 6j
+ 3k
= (12, -6, 3)
Sejajar dengan n1 dan n2
persamaan bidang = 0
a( x – x0 ) + b( y – y0)
+ c( z – z0 ) = 0
12( x – 2 ) + (-6)( y + 1) + 3( z –
3 ) = 0
12x – 24 – 6y – 6 + 3z – 9 = 0
12x – 6y + 3z – 39 = 0
4x – 2y + z – 13 = 0
4x – 2y + z = 13
3.
PERSAMAAN
GARIS DIRUANG
Diberikan titik P
= (x0, y0, z0), dan vektor
(
akan ditentukan persamaan garis yang melalui
titik P dan sejajar dengan vektor u.
Misalkan Q (x, y, z) sebuah titik sebarang padagaris
tersebut. Vektor 𝑣 sejajar dengan vektor PQ
sehingga PQ = t 𝑣 , dengan t 𝞊 R.
(x - x0, y - y0, z - z0)
= t (a,b,c) (1.4)
Dengan demikian diperoleh persamaan parameter untuk garis. Yaitu :
X = x₀ + ta
Y= y₀ + tb disebut sebagai persamaan
parametrik dari garis
Z = z₀ + tc
Bila parameter t di eliminasi, maka
diperoleh persamaan sebagai berikut :
disebut persamaan simetrik dari
garis di atas
Dengan demikian, garis tersebut
dapat dipandang sebagai perpotongan bidang-bidang
dan
Atau
sebagai perpotongan dari
|
|
|
Teorema 8.
Jarak D antara titik Po (x0, y0,
z0) dengan bidang a x +
b y
+ c z
+ d = 0 adalah
D
=
|
(1.5)
Bukti. Misalkan Q (x1,
y1, z1) dalah sebarang titikdalam bidang tersebut. Posisi
normal n = (𝒂, 𝒃, 𝒄) sehingga dengan
demikian titik awalnya terletak di Q. Sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 2,
jarak D adalah sama dengan panjang proyeksi ortogonal QP0 pada n. Jadi, dari persamaan ║proya u║=
kita peroleh
projn
0 P0
(x0, y0, z0)
|
Q (x1, y1,
z1)
|
Gambar 2
D = ║proyn
0║ =
Tetapi
0 = (x0 – x1, y0
– y1, z0 – z1)
0 . n = 𝒂(x0
– x1) + 𝒃(y0 – y1) + 𝒄(z0
– z1)
n =
Jadi, D
=
(1.6)
Karena titik Q (x1, y1,
z1) terletak pada bidang
tersebut, maka koordinatnya memenuhi persamaan bidang, sehingga dengan demikian
𝒂 x1
+ 𝒃 y1
+ 𝒄 z1
+ 𝒅 = 0
𝒅 = ‒ 𝒂 x1
– 𝒃 y1
– 𝒄 z1
Dengan menyulihkan
ekspresi ini dalam (1.6) menghasilkan (1.5)
D
=
Contoh
3
Carilah jarak D antar
titik (1, -4, 3) dengan bidang 2𝓍 ̶ 3y +6 z = ‒1
Pemecahan. Untuk menerapkan (1.5), mula-mula kita
menulis kembali persamaan bidang dalam bentuk
2𝓍 ̶ 3y +6 z + 1 = 0
Kemudian,
=
Contoh 4
Bidang
𝓍 + 2 y – 2z
=3 dan 2𝓍 + 4 y – 4z
= 7
Adalah
sejajar karena bidang tersebut normal. (1, 2, ‒2) dan (2, 4, ‒4) merupakan
vektor sejajar. Carilah jarak antara bidag-bidang tersebut.
Pemecahan.
Untuk
mencari jarak D antara bidang-bidang, kita dapat memilih sebara
titikdalam sebuah bidang dan menghitung
jaraknya pada bidang lainnya. Dengan melengkapi y = z =
0 dalam persamaan 𝓍
+ 2 y – 2z = 3, kita memperoleh titik p₀
(3,
0, 0 ) pada bidang ini
=
Latihan 3
1. Carilah
persamaan parametrik untuk garis yang melalui P dan sejajar ke n pada
masing-masing bagian berikut.
(a) P(2, 4, 6); n = (1, 2, 5)
(b) P(-3, 2, -4); n = (5, -7, -3)
(c) P(1, 1, 5); n = (0, 0, 1)
(d) P(0, 0, 0); n = (1, 1,1)
Penyelesaian:
(a) P(2, 4, 6); n = (1, 2, 5)
x
= 2 + t y = 4 + 2t z = 6 +5t
(b) P(-3, 2, -4); n = (5, -7, -3)
x
= -3 + 5t y = 2 – 7t z = -4 – 3t
(c) P(1, 1, 5); n = (0, 0, 1)
x
= 1 y = 1 z = 5 + t
(d) P(0, 0, 0); n = (1, 1,1)
x
= t y = t z = t
2.
Carilah persamaan simetrik untuk
garis pada bagian (a) dan (b) dari Latihan 9.
Penyelesaian:
(a) P(2, 4, 6); n = (1, 2, 5)
x
= 2 + t y = 4 + 2t z = 6 +5t
(b) P(-3, 2, -4); n = (5, -7, -3)
x
= -3 + 5t y = 2 – 7t z = -4 – 3t
3. Carilah
persamaan parametrik untuk garis yang melalui titik yang diberikan pada
masing-masing bagian berikut.
(a) (6,
-1, 5), (7, 2, 4)
(b) (0,
0, 0), (-1, -1, -1)
Penyelesaian:
(a) (6,
-1, 5), (7, 2, 4)
x
= 6 + t atau x = 7 + t
y
= -1 + 3t y
= 2 + 3t
z
= 5 – 9t z
= -4 – 9t
(b) (0,
0, 0), (-1, -1, -1)
x
= -t atau x = -1 – t
y
= -t y = -1 – t
z
= -t z = -1 – t
4. Carilah
persamaan parametrik dalam setiap bagian untuk garis perpotongan bidang yang
diberikan.
(a) -2x
+ 3y + 7z + 2 = 0 dan x + 2y – 3z + 5 = 0
(b) 3x
– 5y + 2z = 0 dan z = 0
Penyelesaian:
(a) -2x
+ 3y + 7z + 2 = 0 dan x + 2y – 3z + 5 = 0
tukar
b1 dengan b2
Parameter:
z = t
x
=
atau x =
y
=
y
=
z
= t z
= t
(b) 3x
– 5y + 2z = 0 dan z = 0
3x – 5y = 0
3x = 5y
x =
parameter: y = t maka, x =
y
= t z = 0
5. Carilah
persamaan parametrik untuk bidang yang melalui (5, 0, -2) yang sejajar terhadap
bidang x – 4y + 2z = 0 dan 2x + 3y – z + 1 = 0
Penyelesaian:
x
– 4y + 2z = 0 2x + 3y – z + 1 =
0 melalui titik (5, 0, -2)
n1
= (1, -4, 2) n2 =
(2, 3, -1)
=
=
-2 i
+ 5
j + 11 k
x = 5 – 2t
y =
5t
z =
-2 + 11t
6. Pemecahan
‒2x + 3y + 7z + 2 = 0 dan x + 2y ‒ 3z +
5 = 0
Penyelesaian.
Lalu didapatkan
x
= ‒23 t ‒
,
y =
,
z = ‒7t
7.
Carilah
persamaan parametrik untuk garis perpotongan bidang-bidang 3x+2y-4z-6=0
dan x ̶
3y ̶ 2z ̶ 4=0
Jawab:
3x + 2y – 4z = 6
x - 3y – 2z
= 4
-∞ < t <+∞
8. Cari
persamaan parametrik vektor yang melalui titik P (1, - 2, 3) dan P (0, 5, -1)
Penyelesaian :
(0 – 1, 5 –
(-2), - 1 – 3) = (-1, 7, - 4) = - i + 7j – 4k. Vektor b dapat dipilih
b = i – 2j +
3k atau b = 5j – k
Sehingga persamaan parametriknya adalah :
x = 1- t x
= -t
y = -2 + 7t y
= 5 + 7t
z = 3 – 4t z = -1 – 4t
9. Carilah
persamaan parametrik untuk garis yang melalui titik-titik yang diberikan
a) P
(5 ,
2, 4) , Q (7 , 2 ,
4)
b) P
(2, 3, 0) , Q (
1,
3, 2)
c) P
(0, 2, 3) , Q (2 , 2 ,
4)
d) P
(0, 0, 0) , Q (2 ,
1 , 3)
Penyelesaian
:
a)
b)
c)
d)
10.
Carilah jarak D antara titik (1, -4, -3)
dan bidang 2x – 3y + 6z = 1.
Penyelesaian :
Nilai-nilai x0
= 1, y0= -4, z0 = -3 disubtitusikan ke dalam persamaan
jarak maka didapatkan,
D =
=
11.
Carilah jarak D antara bidang x + 2y -2z
= 3 dan 2x + 4y – 4z = 7.
Penyelesaian :
Bidang-bidang x + 2y
-2z = 3 dan 2x + 4y – 4z = 7 adalah sejajar karena normalnya (1, 2, -2) dan (2,
4, -4) adalah vektor-vektor yang paralel.
(1, 2, -2) = k (2, 4,
-4), dimana k =
Pilihlah
titik p0 (x0,
y0,
z0)
pada salah satu bidang, misalkan bidang x + 2y -2z = 3. Misalkan pula y0
= 0, z0 = 0, nilai x0
didapatkan dengan mensubstitusikan nilai y0
= 0 dan z0 = 0 ke dalam persamaan
bidang x + 2y -2z = 3, yaitu x0
= 3.
Jarak antara bidang x +
2y -2z = 3 dan 2x + 4y – 4z = 7 sama dengan jarak antara titik P0
(0, 0, 3) yang terletak pada bidang x + 2y -2z = 3 dan 2x + 4y – 4z = 7
D =
=
12.
Carilah jarak antara titik ( 1, ‒2, 5) ke bidang
4x – 3y + 2z = 3
Penyelesaian :
Dengan mengggunakan teorema 8
D =
Maka
D
=
D
=
D
=
13.
Carilah jarak antara titik (2, 1, ‒1) ke
bidang 6(x ‒ 1) + 2(y ‒ 3) + 3(z + 4) = 0
6(x
‒ 1) + 2(y ‒ 3) + 3(z + 4) = 0
6x
‒ 6 + 2y ‒ 6 + 3z + 12 = 0
6x
+ 2y + 3z = 0
D =
Maka
D =
D
=
D
=
D
=
D
= 1
14. Tentukan
titik perpotongan antara bidang 2x – 3y + 2z + 2 = 0 dengan garis x = 3 – 2t, y
= 1 + t, z = -3 + 2t, -∞ < t < +∞
Penyelesaian:
Bidang = 2x – 3y + 2z + 2 = 0
x
= 3 – 2t x – 3 = -2t
Garis y = 1 + t y – 1 = t
z
= -3 + 2t z + 3 = 2t
·
x
– 3 = -2y + 2
x
– 3 + 2y – 2 = 0
x
+ 2y – 5 = 0
·
2y
– 2 = z + 3
2y
– 2 – z – 3 = 0
2y
– z – 5 = 0
·
2x
– 6 = -2z – 6
2x
– 6 + 2z + 6 = 0
2x
+ 2z = 0
x
+ 2y – 5 = 0
2y
– z – 5 = 0
2x
+ 2z = 0
2x
– 3y + 2z + 2 = 0
Jadi, titik potongnya
adalah (11/3, 2/3, -11/3)
15. Tunjukan
bahwa garis x = - 1+ 4t, y = 3 + t, z = 1, dan x = -13 + 12t, y = 1 + 6t, z = 2
+ 3t, -∞ < t < +∞, saling berpotongan dan tentukan titik potongnya
penyelesaian :
x + 1 = 4(y – 3)
atau
z
z = 1
6 (x + 13) = 12(y – 1)
6x + 78 = 12y – 12
eliminasi
pers 1 & 2
6x – 12y + 90 = 0 x 1
x – 4y + 13 = 0 x 6
6x – 12y + 90 = 0
6x
– 24y + 78 = 0 ̶
12y + 12 = 0
12y =
̶ 12
y =
̶ 1 ...........persamaan 4
substitusi pers 4 ke persamaan 2
6x – 12y + 90 = 0
6x – 12(-1) + 90 = 0
6x = -90-12
X= -17
Substitusi persamaan 4 ke persamaan
3
jadi, titik potongnya adalah n =
(-17,-1,1)
boleh bagi file-nya gan, banyak tulisan yg crash nih di blognya
BalasHapuskak no 8 dapat n nya dari mana ya? kunjungi blog saya juga ya kak www.kedinasan.online . terimakasih
BalasHapus